Secciones cónicas

La superficie (o cono) es una figura geométrica generada por el giro de una recta g (generatriz) alrededor de otra recta fija e (eje), secantes entre si en un punto V (vértice), siendo el angulo de giro (α) un valor constante. Esta superficie esta constituida por dos partes, llamadas mantos, que se cortan en el vértice.

Las secciones cónicas son curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano que no pasa por el vértice.

Según la inclinación del plano con respecto al eje (recta e), podemos obtener una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola.

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de constantes y potencias de variables que esten ligadas por las operaciones de adición, sustracción , multiplicación, división, potenciacion y radicacion, sin variables en los exponentes.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 

 Cuando las variables no están afectadas por la radicacion ni su exponente es fraccionario 

Pueden ser:

RACIONALES ENTERAS

Cuando los exponentes de las variables son números enteros no negativos.

Ejemplos:

  

RACIONALES FRACCIONARIAS 

Cuando por lo menos hay una variable en el denominador o las variables del numerador están al menos de un exponente entero negativo.

Ejemplos:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES 

Cuando hay una variable afectada por la radicacion.

Ejemplos: 

Polinomios

Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios. 

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

Tipos de polinomios

1Polinomio nulo:

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x² + 0x + 0

2Polinomio homogéneo  

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x² + 3xy

3Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 3x² − 3

4Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

5Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

6Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

7Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x³

8Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 3x³ + 7x − 2

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

De: http://www.vitutor.com/ab/p/a_4.html

Cuerpos de revolución (Cilindro recto y cono recto)

Cuando una figura plana gira alrededor de un eje , se obtiene un cuerpo de revolución.

Cilindro recto 

El cilindro recto es un solido de revolución generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Áreas y volumen de un cilindro recto 

El desarrollo de un cilindro es un rectángulo y dos círculos. El rectángulo tiene por base la longitud de la circunferencia (2πr) y por altura la generatriz (h = g).

Las bases del cilindro son dos círculos congruentes y su área lateral es igual al área del rectángulo.  

Cono recto 

El cono recto es un solido de revolución generado por un triangulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

Áreas y volumen de un cono recto 

El desarrollo de uno cono esta formado por un sector circular y un circulo.El arco del sector circular tiene longitud 2πr (siendo r el radio del cono), ya que es la longitud de la circunferencia de la base.El radio del sector circular es la generatriz (g).

Esfera 

Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.

Área y Volumen 

 

Matemáticos Peruanos

Federico Villareal 

Fue matemático, ingeniero, físico y políglota peruano. Decano de la Facultad de Ciencias y Rector de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Sus padres fueron Ruperto Villarreal y Manuela Villarreal. Falleció de derrame cerebral en el balneario limeño de Barranco. Federico Villarreal nació el 31 de agosto de 1850 en Túcume, departamento de Lambayeque (Perú) (El departamento de Lambayeque tiene como capital departamental a la ciudad de Chiclayo). A los 14 años fue cajero en una empresa despepitadora de algodón, pero no dejó de lado sus estudios que lo llevarían a ser profesor y así fue: a los 20 años obtuvo el título de preceptor otorgado por la comisión departamental de Instrucción pública de Trujillo el cual le permitió dirigir la escuela oficial de Túcume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigió un colegio de instrucción media en la ciudad de Lambayeque, enseñó allí matemáticas y ocupó en él el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque. La experiencia de Villarreal como maestro elemental señaló sólo una primera etapa. Su vocación de matemático bullía desbordando su enseñanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba con tan sólo 23 años descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Entre 1877 y 1880 estudió en la sección de ciencias matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduándose como bachiller en 1879 con la tesis: "Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras" y como licenciado con la tesis: "Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros" (1880).En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticas mediante la tesis: "Clasificación de Curvas de Tercer Grado" destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le mereció a Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Perú.

De: http://oriolauscamayta.blogspot.pe/2013/01/biografia-de-matematicos.html

 JOSÉ TOLA PASQUEL

 Ingeniero civil y matemático peruano. Ex rector de la Pontificia Universidad Católica del Perú.

José Tola Pasquel estudió primaria en el colegio San José de Cluny de Barranco y, secundaria en el colegio San Luis de los Hermanos Maristas de Barranco.

Realizó sus estudios simultáneamente en la Pontificia Universidad Católica del Perú y en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. En la primera, optó el título de Ingeniero Civil en 1938 y en la segunda obtuvo el grado de Doctor en Ciencias Matemáticas en 1941 con la tesis: "Sobre la equivalencia de las dos formas de continuidad de operaciones con sucesiones y por vecindad en espacios topológicos".

Entre sus maestros más esclarecidos se encuentran: Cristóbal de Losada y Puga, Luis Díaz,Godofredo García, Alfred Rosenblatt, Ricardo Valencia y Héctor Velarde.

No obstante haber desarrollado una actividad profesional en el campo de la ingeniería estructural durante muchos años, su ocupación preferente ha sido la docencia universitaria y la investigación en los dominios de la matemática y de las ciencias de ingeniería. Desde su juventud, ejerció docencia en los tres centros superiores más importantes del país: Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Universidad Nacional de Ingeniería y Pontificia Universidad Católica del Perú. Fue Director del Instituto de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos de 1945 a 1961.

Fue Decano de la Facultad de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica del Perú de 1947 a 1949, Director Encargado de la organización del Departamento de Ciencias Básicas y Jefe del Departamento de Ciencias de la Universidad Católica en 1969-1970 y Director del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional de Ingeniería (Imuni) de 1962 a 1968. Su principal dedicación ha sido el desarrollo de los estudios de las Matemáticas y de las Ciencias Físicas en nuestro país.

Entre sus funciones en el gobierno universitario cabe mencionar que fue Pro-Rector de la Pontificia Universidad Católica del Perú de 1965 a 1970 y que fue elegido Rector primero para el período 1977-1984 y luego para el período 1984-1989. Este propiciador peruano de la enseñanza y la investigación matemática, en la segunda mitad del siglo XX, falleció en febrero de 1999 cuando se desempeñaba como Director de la Escuela de Graduados de la PUCP, cargo que ocupó desde 1990.

Maestro por vocación y méritos, en su hoja de vida escribe que aun cuando ejerció actividad profesional en el campo de la ingeniería estructural por muchos años, su actividad preferente ha sido la docencia universitaria y la investigación en los dominios de la matemática y de las ciencias de la ingeniería.

De: http://oriolauscamayta.blogspot.pe/2013/01/biografia-de-matematicos.html

 MARIANO DAMASO BERAUN

Nació en la ciudad de Huanuco el 11 de Diciembre de 1813 en la casa del Jr. Lima Nro.58. Hoy la calle donde nació se le denomina Dámaso Beraún en su honor y su casa es ocupada por el Partido Aprista Peruano.

Estudió en el Convictorio de San Carlos. Luego de concluir sus estudios secundarios Mariano Dámaso Beraún en 1883, ingresa a la Facultad de Ciencias Matemáticas y Naturales del Convictorio de San Carlos.

En 1837 concluye brillantemente sus estudios superiores graduándose de Doctor en Ciencias Matemáticas y se le incorpora como maestro del Convictorio de San Carlos ensañando Física y Matemáticas, las dos ciencias de su predilección.

Durante el gobierno del Gral. Ramón Castilla fue elegido Diputado Nacional cargo que ejerció desde 1857 hasta 1861. En este último año publica su famoso “ENSAYO SOBRE LA TRISECCIÓN DEL ANGULO”, donde descubre un nuevo método para dividir el ángulo en tres partes. Este gran descubrimiento lo elevó a la categoría de Sabio Matemático.
Su obra fue enviada a los principales centros científicos de Europa y a partir de entonces surgió el nombre de TRISECTRIZ DE BERAUN.

En el año 1871 durante el Gobierno del Presidente José Balta fue designado Catedrático del Curso de Física de la Universidad San Marcos y en ese mismo año publicó su célebre “TEORÍA DE LAS MAREAS”. Publicó además otros trabajos sobre Mareas en los Diarios de Lima.

Dos años después, en 1873 es designado Catedrático de Astronomía en San Marcos. Este fue el último año en que el sabio maestro Beraún estuvo como docente en la histórica Universidad Mayor de San Marcos.

El sabio Mariano Dámaso Beraún falleció un 4 de Enero de 1894 a los 80 años de edad, habiendo toda su vida dedicado al cultivo de las Ciencias y a la investigación. Su vasta producción científica incluye muchos otros títulos tales como: “LAS MANCHAS DEL SOL”, “EL UNIVERSO Y EL ATEO”, “CALCULO DE LA HORA DE LA PLEAMAR” , y muchos otros trabajos.

  De: http://oriolauscamayta.blogspot.pe/2013/01/biografia-de-matematicos.html